CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

Una función de variable compleja, es una función cuyo dominio
es un subconjunto de C y los valores que toma están en C. Es decir,
f : A ⊆ C −→ C.

Asociadas a f aparecen las funciones reales de variable compleja,
u(z) = Re f (z), v(z) = Im f (z).

Identificando C con R2, las funciones u y v pueden ser vistas como funciones
de dos variables reales que toman valores en R y, así, es muy frecuente escribir
f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy ∈ A.

Es decir, tener una función compleja de variable compleja es tener dos funciones
reales de dos variables reales.
Sea f : A ⊆ C −→ C y sea z0 ∈ C un punto de acumulación de A.

Cualquier otra propiedad conocida en R que solo tenga que ver con el uso
del módulo y la estructura de cuerpo, también será cierta en C. Por ejemplo, el
límite del producto de una función que tienda a 0 por otra función acotada en un
entorno del punto, es 0. No son ciertas, porque ni siquiera tienen sentido en general, propiedades que tienen que ver con el orden, como la regla del sandwich.(Si f; g; h son tres funciones tales que f(x) · g(x) · h(x), para todo x en un
entorno del punto a, y se verifica que los siguientes límites existen y valen L:
lim f(x)= lim h(x) = L, entonces existe también lim g(x) y vale L, es decir,
lim g(x) = L).

Números Complejos

Los números complejos tienen usos concretos esenciales en una variedad de ciencias y de áreas relacionadas, por ejemplo, proceso de señal, teoría de control, electromagnetismo, cartografía, entre muchos otros. Estos resuelven y facilitan el cálculo y por ello se emplean en ingeniería.

En ingeniería mecánica los números complejos se usan para representar la relación espacial de los esfuerzos en un sistema o internamente en un material.

Una muestra sería: Mientras la potencia puramente resistiva de una estufa se representa con un número real, la potencia reactiva de un motor industrial se representa con un número imaginario. Las relaciones entre ambas potencias cumplen las mismas propiedades que las propias relaciones entre números reales e imaginarios. De la misma forma, en la ecuación llamada función de onda de la mecánica cuántica, también encontramos los números imaginarios. Esta función que controla el comportamiento de cualquier partícula elemental, de la que está formado este universo, se rige por la relación de los números reales e imaginarios, y en cualquier expresión de naturaleza ondulatoria, como las ondulaciones del agua en un estanque, la propagación de la luz o las vibraciones que producen los sonidos en nuestros tímpanos.